Καλώς ήλθατε

Συνδεθείτε ή εγγραφείτε ως Μέλη, προκειμένου να σχολιάσετε αναρτημένα άρθρα, slides κλπ ή/και να διατυπώσετε τις δικές σας απόψεις για οποιοδήποτε θέμα τεχνικού ενδιαφέροντος.

Παρασκευή, 17 Νοεμβρίου 2017

Βασικά θέματα στατιστικής, απαραίτητα για την κατανόηση των προτύπων που εφαρμόζονται για την εκτίμηση της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος μέσω δειγματοληψιών.

Ερωτήσεις & Απαντήσεις σχετικά με την αποτίμηση της αντοχής του σκυροδέματος υφιστάμενων κατασκευών Μέρος Α: Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Χρήστος ΡοδόπουλοςΕισαγωγή Η παρουσίαση αυτή χωρίζεται σε δυο μέρη. Στο Μέρος Α περιλαμβάνονται βασικά θέματα στατιστικής, απαραίτητα για την κατανόηση των προτύπων που εφαρμόζονται για την εκτίμηση της θλιπτικής αντοχής σκυροδέματος μέσω δειγματοληψιών και επεξηγείται ο όρος "παρτίδα σκυροδέματος" που για πολλά χρόνια έχει οδηγήσει σε σοβαρότατες αντιδικίες Παρέχεται επίσης η δυνατότητα download δύο αρχείων Excel, που δημιουργήθηκαν για την περαιτέρω εξάσκηση των αναγνωστών. Στο Μέρος Β θα αναλυθεί το κατά πόσον και πότε μια δειγματοληψία είναι αντιπροσωπευτική της κατασκευής.Ερώτηση 1Το μέγεθος της τυπικής απόκλισης θλιπτικής αντοχής που προκύπτει από την θραύση δείγματος πυρήνων αποτελεί διαβάθμιση της ποιότητας κατασκευής;ΑπάντησηΝΑΙΠίνακας 1Κατηγορίες τυπικής απόκλισης δειγμάτων εργοταξίου και εργαστηρίου σύμφωνα με ην Οδηγία ACI 214 R-11 "Guide to Evaluation of Strength Test Results of Concrete", για σκυροδέματα χαρακτηριστικής αντοχής έως 34,5 MPa και άνω των 34,5 MPa1 / 36 Αν και ο Πίνακας 1 δεν περιλαμβάνει τις επιπτώσεις από την διαδικασία σκυροδέτησης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δείκτης ποιότητος. Εστω ότι η μέση τιμή δείγματος με Ν=6 πυρήνες είναι 26 MPa (αντοχή κύβου). Σύμφωνα με την Εγκύκλιο Ε-7 (βλπ. www.e-archimedes.gr : H Εγκύκλιος Ε7 του ΥΠΕΧΩΔΕ, όπως ισχύει) (1) όπουείναι η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση του δείγματος των 6 δοκιμίων.Συνδυάζοντας την Εγκύκλιο Ε-7 με τον Πίνακα 1 έχουμε: Ποιότητα ΚατασκευήςΕξαιρετικήΠολύ ΚαλήΚαλήΑνεκτήΚακήΌριο Τυπικής Απόκλισης (MPa)< 2.82.8 - 3.43.4 - 4.14.1 - 4.8> 4.8Ε7 (MPa) - Χαρακτηριστική τιμή> 21.521.5 - 20.520.5 - 19.419.4 - 18.3< 18,3Ο πολλαπλασιαστής -1,6 στην εξίσωση (1) είναι η τιμή Ζ της τυποποιημένης κανονικής κατανομής (εικόνα 1) και αντιστοιχεί σε πιθανότητα ή εύρος αξιοπιστίας 95%. Η κανονική κατανομή που έχει μέση τιμή 0 (μ = 0) και τυπική απόκλιση 1 (σ = 1, άρα και διασπορά 1), συμβολίζεται με N(0,1) και ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή. Μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την τυποποιημένη κανονική κατανομή, έχει επικρατήσει να συμβολίζεται με Ζ και η συνάρτηση πυκνότητάς της με φ(z).2 / 36 Το σκούρο μπλε είναι λιγότερο από μία τυπική απόκλιση από τον μέσο όρο. Στην κανονική κατανομή, αυτό αντιστοιχεί στο 68% των παρατηρήσεων, ενώ δύο τυπικές αποκλίσεις από τον μέσο όρο (μπλε και σκούρο μπλε) αντιστοιχούν στο 95%, και τρεις τυπικές αποκλίσεις (ανοιχτό μπλε, μπλε και σκούρο μπλε) στο 99,7%. Η τυποποίηση των δεδομένων βασίζεται στην απόκλισή τους από το μέσο όρο σε όρους της σ, σύμφωνα με τον τύπο Ζ = (Χ - μ) / σ. Με τον τύπο αυτό μπορούν να μετατραπούν τα δεδομένα μιας μεταβλητής που κατανέμεται κανονικά σε τυποποιημένη μορφή και να υπολογισθούν οι πιθανότητες χρησιμοποιώντας τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Οι πίνακες αυτοί δίνουν τις αθροιστικές πιθανότητες της κατανομής της Ζ, δηλαδή τα εμβαδά της κατανομής από -∞ έως και μία συγκεκριμένη τιμή της Ζ (π.χ. z). Έτσι, οι πίνακες δίνουν τις πιθανότητες P(Z ≤ z) για όλα τα z από -3,99 έως +3,99 με βήμα 0,01.Εικόνα 1Για να γίνει περισσότερο κατανοητή η λογική πίσω από τον Πίνακα 1 αυτό, απαιτείται ο συσχετισμός του με τις κατηγορίες θλιπτικής αντοχής. 3 / 36 Το Ευρωπαϊκό Πρότυπο ΕΛΟΤ ΕΝ 13791: Assessment of in-situ compressive strength in structures and precast concrete components --- Επί τόπου εκτίμηση της θλιπτικής αντοχής κατασκευών και προκατασκευασμένων στοιχείων από σκυρόδεμα καθορίζει τις ακόλουθες ελάχιστες τιμές επί τόπου χαρακτηριστικής αντοχής σε θλίψη ανά κατηγορία σκυροδέματος κατά ΕΛΟΤ ΕΝ 206:Πίνακας 2 Ελάχιστες τιμές επί τόπου θλιπτικής αντοχής κατά ΕΛΟΤ ΕΝ 13791 Συνδυάζοντας λοιπόν την Εγκύκλιο Ε-7 και με τους δύο Πίνακες, 1 και 2, έχουμε: Ποιότητα ΚατασκευήςΕξαιρετικήΠολύ ΚαλήΚαλήΑνεκτήΚακήΌριο Τυπικής Απόκλισης (MPa)< 2.82.8 - 3.43.4 - 4.14.1 - 4.8> 4.8Ε7 (MPa) - Χαρακτηριστική τιμή> 21.521.5 - 20.520.5 - 19.419.4 - 18.3< 18,3Κατηγορία Θλιπτικής αντοχήςC20/25C16/20 C20/25C16/20C16/20< C16/20Πίνακας 2< 26 (C25/30)> 21 (C20/25) > 17 (C16/20) > 17 (C16/20) > 17 (C16/20) < 21 (C20/25) < 21 (C20/25) < 21 (C20/25) ίσως < 174 / 36 Δηλαδή η χαρακτηριστική ή μέση ανηγμένη τιμή έχει πιθανότητα 95% να εμφανίσει μεγαλύτερες τιμές (στα δεξιά της καμπύλης, εικόνα 1) ή πιθανότητα 5% (εντός της γκρι ζώνης, εικόνα 1) να εμφανίσει μικρότερες τιμές από τον μέσο όρο των ληφθέντων πυρήνων. ΣημείωσηΗ Ε7 πρέπει να εφαρμόζεται αποκλειστικά σε δείγμα 6 δοκιμίων και όχι σε λιγότερα ή περισσότερα. Ωστόσο υπάρχουν πιστοποιημένα εργαστήρια που εφαρμόζουν την Ε7 ασχέτως του αριθμού των δοκιμίων, κατά παράβαση της Εγκυκλίου. Νομικά δεν φέρουν καμία ευθύνη διότι η πιστοποίησή τους αναφέρεται αποκλειστικά στην διεξαγωγή των δοκιμών και όχι την εκτίμηση της αντοχής, που είναι συμβατική υποχρέωση του μηχανικού του έργου.Ερώτηση 2Τι είναι η τιμή Ζ και ποιος ο ρόλος της;ΑπάντησηΟρίζει την πιθανότητα εμφάνισης κάποιας τιμής σε μια τυποποιημένη κανονική κατανομήΤο ερώτημα γίνεται καλύτερα αντιληπτό αν τεθεί ως εξής: Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων σκυροδέματος, που εμφανίζουν κανονική κατανομή, είναι μ =30 MPa και s = 5 MPa. Ποιά είναι η πιθανότητα ενός πυρήνα να εμφανίσει τιμή > 20 MPa; Η απάντηση στην επόμενη εικόνα 2.Εικόνα 2: Η πιθανότητα ισούται με το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης ζώνης Δηλαδή θα πρέπει να ολοκληρώσουμε την διαγραμμισμένη επιφάνεια. Ας μην ξεχνάμε ότι το ολοκλήρωμα ολόκληρης της τυποποιημένης κανονικής της κατανομής (καμπάνας) είναι πάντοτε ίσο με 1. Η τιμή Ζ δίνεται από την σχέση: (2) Κάνουμε χρήση του ακόλουθου Πίνακα Ζ:5 / 36 Προκύπτει ότι η πιθανότητα ενός πυρήνα να εμφανίσει τιμή > 20 MPa είναι: p = 1,0000 - 0,0228 = 0,9772 ή 97,2%. Εφαρμόζοντας την Εγκύκλιο Ε7 με βάση τα υπόψη αποτελέσματα (μ =30 MPa και s = 5 MPa), η χαρακτηριστική ή μέση ανηγμένη τιμή που εμφανίζει πιθανότητα 95% προκύπτει ίση προς:Με βάση το αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να επαναδιατυπώσουμε το ερώτημά μας ως εξής: Η μέση και η τυπική απόκλιση αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων σκυροδέματος, που εμφανίζουν κανονική κατανομή είναι μ = 30 MPa και σ = 5 MPa. Ποια είναι η πιθανότητα ενός πυρήνα να εμφανίσει τιμή > 22 MPa; Εφαρμόζοντας την σχέση (2) έχουμε: Η σχέση (1) επαληθεύεται (Εγκύκλιος Ε7)Ερώτηση 3Τι δυνατότητες παρέχει η χρήση των τιμών Ζ;ΑπάντησηΕύρεση των πιθανοτήτων κατάταξης του σκυροδέματος σε κατηγορίες αντοχής κατά ΕΝ 206 με βάση τα αποτελέσματα της δειγματοληψίαςΑς πάρουμε το παρακάτω παράδειγμα:6 / 36 Οι τιμές θραύσης δοκιμίων σκυροδέματος είναι: 22.1, 20, 18.5, 16.2, 17.2, 18.5, 30, 28, 29, 19, 22, 27 και 21 MPa. Υπολογίστε τις πιθανότητες το δείγμα να ανήκει στις κατηγορίες C16/20, C20/25 και C25/30 Από τα αποτελέσματα προκύπτει, μέση τιμή= 22,2 MPa και τυπική απόκλιση s = 4,7 MPa.Με βάση τις ελάχιστες απαιτήσεις θλιπτικής αντοχής ανά κατηγορία σκυροδέματος του Πίνακα 2 και τον πλήρη πίνακα τιμών Ζ της κανονικής κατανομής (βλπ. Παράρτημα Α) έχουμε: Ποια είναι η πιθανότητα ενός πυρήνα του δείγματος να εμφανίσει τιμή > 17 MPa (C16/20); Πιθανότητα 86.43% Ποια είναι η πιθανότητα ενός πυρήνα του δείγματος να εμφανίσει τιμή > 21 MPa (C20/25); Πιθανότητα 40.13% Ποια είναι η πιθανότητα ενός πυρήνα του δείγματος να εμφανίσει τιμή > 26 MPa (C25/30); Πιθανότητα 21.2%Ερώτηση 4Πόσα δοκίμια απαιτούνται για την κατηγοριοποίηση της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος σε μια περιοχή ελέγχου;ΑπάντησηΑνάλογα με τον απαιτούμενο βαθμό αξιοπιστίας (πιθανότητα) και την τυπική απόκλιση των αποτελεσμάτωνΑς πάρουμε το παρακάτω παράδειγμα: Οι τιμές θραύσης 13 δοκιμίων σκυροδέματος είναι: 20, 22, 18, 16, 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22 και 21 MPa. Είναι ο αριθμός του δείγματος ικανός ώστε το δείγμα του σκυροδέματος να ανήκει στην κατηγορία C16/20 με βαθμό αξιοπιστίας 95% ; Από τα αποτελέσματα προκύπτει, μέση τιμή= 20,8 MPa και τυπική απόκλιση s = 3,0 MPa.Η απαίτηση πιθανότητας 95% σημαίνει ότι από το διάστημα εμπιστοσύνης εξαιρούνται οι εκατέρωθεν ζώνες της επιφανείας υπό την καμπύλη της κανονικής κατανομής με εμβαδόν 2,5% (έκαστη).Η δεξιά τιμή z αντιστοιχεί, κατά συνέπεια, στο 95% + 0,5 x 5% του εμβαδού = 0.975 (αθροιστική πιθανότητα), οπότε, σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα, ανέρχεται σε 1,96. 7 / 36 Το τυπικό σφάλμα (ΤΣ) του δείγματος σε σχέση με την μέση τιμή δίνεται από την σχέση: (3) όπου n είναι ο αριθμός του δείγματος και s η τυπική απόκλιση το δείγματος. Το όριο σφάλματος σε σχέση με την μέση τιμή του υπόψη δείγματος για απαίτηση αξιοπιστίας 95% δίνεται από την σχέση: (4) Άρα το εύρος εμπιστοσύνης είναι: (5) Δηλαδή είμαστε σίγουροι κατά 95% ότι η μέση τιμή των 20,8 MPa του δείγματος είναι μεταξύ των 19,17 και 22,43 MPa.8 / 36 Το σκυρόδεμα κατηγορίας C16/20, σύμφωνα με τον Πίνακα 2, έχει εύρος διαβάθμισης θλιπτικής αντοχής κύβου 17-20 MPa, οπότε το εύρος εμπιστοσύνης του δείγματος σε σχέση με το εύρος του C16/20 μπορεί να απεικονισθεί ως εξής:Με άλλα λόγια: Είμαστε σίγουροι κατά 95% ότι η μέση τιμή 18,5 MPa των n δοκιμίων του δείγματος n βρίσκεται μεταξύ των τιμών 17 και 20 MPa. Μαθηματικά αυτό διατυπώνεται ως εξής: κάτω όριο: άνω όριο: Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι για δείγμα n = 13 δοκιμίων, η τυπική απόκλιση από τον μέσο όρο τιμών πρέπει να είναι s = 2,75 MPa. Αν τα ίδια αποτελέσματα είχαν προκύψει από n = 6 δοκίμια (όπως προβλέπεται στην Εγκύκλιο Ε7), τότε η τυπική απόκλιση πρέπει να είναι s = 1,87 MPa. Ομοίως, αν τα ίδια αποτελέσματα είχαν προκύψει από n = 30 δοκίμια, τότε η τυπική απόκλιση πρέπει να είναι s = 4.19 MPa. Δηλαδή όσο μικρότερο είναι το δείγμα, τόσο μικρότερη είναι η απαιτούμενη μέγιστη τυπική απόκλιση για την διασφάλιση του ορίου-στόχου αξιοπιστίας (και αντίστροφα). Το όριο σφάλματος ή τυπικό σφάλμα μέσου (margin of error, ΤΣΜ) δίνεται από την σχέση: (6)Επισήμανση: Στις δειγματοληψίες για την αποτίμηση της θλιπτικής αντοχής σκυροδέματος υφιστάμενων κατασκευών, το τυπικό σφάλμα μέσου αποτελεί ιδιαίτερα κρίσιμη μεταβλητή.9 / 36 Ερώτηση 5Πόσα δοκίμια απαιτούνται για την κατηγοριοποίηση σε μια περιοχή ελέγχου, της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος με τυπικό σφάλμα 1,0 MPa και διάστημα εμπιστοσύνης 95%; Επηρεάζεται το αποτέλεσμα από την ποιότητα της κατασκευής;ΑπάντησηΛΥΣΗΑπό την σχέση (6) προκύπτει: (7) Με βάση δε τα δεδομένα της Ερώτησης 4 Κάνοντας χρήση του Πίνακα 1 καταλήγουμε: Ποιότητα Κατασκευής Όριο Τυπικής Απόκλισης (MPa) Αριθμός δοκιμίων (*)ΕξαιρετικήΠολύ ΚαλήΚαλήΑνεκτήΚακή< 2,82,8 - 3,43,4 - 4,14,1 - 4,8> 4,83131 - 4545 - 6565 - 86> 86(*) Σημείωση. Στις επιλύσεις στατιστικής το 0,9 μετατρέπεται σε 1 και το 1,1 μετατρέπεται σε 2.Ο συσχετισμός μεταξύ τυπικού σφάλματος, διασποράς και αριθμού δοκιμίων γίνεται ακόμα κρισιμότερος αν ληφθεί υπόψη και ο περιορισμός που θέτει ο Ευρωκώδικας 0 (ΕΝ 1990) για μέγιστη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας COV ≤20%. O COV για κανονική κατανομή δίνεται από την σχέση, (τυπική απόκλιση προς μέση τιμή)(8)Συνδυάζοντας την εξίσωση 8 με την εξίσωση του τυπικού σφάλματος (3) έχουμε: (9)Για την καλύτερη κατανόησης της σχέσης 9 παρατίθενται 5 διαφορετικά παραδείγματα.10 / 36 Παράδειγμα 1Το τυπικό σφάλμα των αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων είναι 1,0 MPa. H παρτίδα 6 πυρήνων έδωσε μέση τιμή μ = 25 MPa. H μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας κατά τον Ευρωκώδικα 0 είναι COV ≤ 0,2. Είναι ο αριθμός των δοκιμίων αξιόπιστος;Λύση  το δείγμα των 6 πυρήνων δεν είναι αξιόπιστο. Παράδειγμα 2Το τυπικό σφάλμα των αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων είναι 1,5 MPa. H παρτίδα 6 πυρήνων έδωσε μέση τιμή μ = 25 MPa. H μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας κατά τον Ευρωκώδικα 0 είναι COV ≤ 0,2. Είναι ο αριθμός των δοκιμίων αξιόπιστος;Λύση  το δείγμα των 6 πυρήνων δεν είναι αξιόπιστο. Παράδειγμα 3Το τυπικό σφάλμα των αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων είναι 2,1 MPa. H παρτίδα 6 πυρήνων έδωσε μέση τιμή μ = 25 MPa. H μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας κατά τον Ευρωκώδικα 0 είναι COV ≤ 0,2. Είναι ο αριθμός των δοκιμίων αξιόπιστος;Λύση  το δείγμα των 6 πυρήνων είναι αξιόπιστο. Παράδειγμα 4Το τυπικό σφάλμα των αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων είναι 1,0 MPa. H παρτίδα 6 πυρήνων έδωσε μέση τιμή μ = 18,5 MPa. H μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας κατά τον Ευρωκώδικα 0 είναι COV ≤ 0,2. Είναι ο αριθμός των δοκιμίων αξιόπιστος;Λύση  το δείγμα των 6 πυρήνων δεν είναι αξιόπιστο. Παράδειγμα 5Το τυπικό σφάλμα των αποτελεσμάτων θραύσης πυρήνων είναι 1,0 MPa. H παρτίδα 6 πυρήνων έδωσε μέση τιμή μ = 23 MPa. H μέγιστη επιτρεπόμενη τιμή του συντελεστή μεταβλητότητας κατά τον Ευρωκώδικα 0 είναι COV ≤ 0,2. Είναι ο αριθμός των δοκιμίων αξιόπιστος;Λύση  το δείγμα των 6 πυρήνων δεν είναι αξιόπιστο. 11 / 36 Τα παραπάνω εξηγούν στην ουσία την ακόλοπυθη παράγραφο του ΚΑΝ.ΕΠΕ:Ερώτηση 6Οι τιμές αντοχής θραύσης 15 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος είναι: 20, 22, 18, 16, 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22, 21, 20 και 23 MPa Να υπολογιστεί κατά του ΕΝ 13791 η κατηγορία του σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου.ΑπάντησηΛύσηΕν προκειμένω είναι χρήσιμο να παρατεθούν βασικά στοιχεία για το Πρότυπο ΕΝ 13791, από κείμενο των κ.κ. Α. Σακελλαρίου και Ι. Καλογεροπούλου που έχει αναρτηθεί παλαιότερα στο www.e-archimedes.gr με τίτλο Εκτίμηση της επί τόπου αντοχής του σκυροδέματος (ctrl+click για την μετάβαση)Το Ευρωπαϊκό Πρότυπο EN 13791 δημιουργήθηκε με σκοπό να παρέχει τρόπους ώστε να εκτιμηθεί η επί τόπου θλιπτική αντοχή σε υφιστάμενες κατασκευές από σκυρόδεμα. Οι δοκιμές της επί τόπου αντοχής λαμβάνουν υπόψη την επίδραση που έχουν τόσο τα υλικά της κατασκευής όσο και ο τρόπος εκτέλεσης της κατασκευής όπως π.χ. η συμπύκνωση του σκυροδέματος, η συντήρηση κλπ. Η χρήση του Προτύπου EN 13791 είναι απαραίτητη σε περιπτώσεις όπως: -όταν χρειάζεται να ανασχεδιασθεί (ή τροποποιηθεί) υφιστάμενη κατασκευή.-όταν χρειάζεται να εκτιμηθεί η φερεγγυότητα μιας κατασκευής αμφισβητούμενης θλιπτικής αντοχής (λόγω κατασκευαστικών κακοτεχνιών, βλαβών λόγω πυρκαγιάς ή άλλης αιτίας).-όταν απαιτείται εκτίμηση της επί τόπου αντοχής του σκυροδέματος για την προσθήκη επί υφιστάμενης κατασκευής.-όταν χρειάζεται να εκτιμηθεί η φερεγγυότητα μιας κατασκευής σε περίπτωση μη συμμόρφωσης της θλιπτικής αντοχής που προήλθε από δοκιμές συμβατικών δοκιμίων.-όταν χρειάζεται η αξιολόγηση της συμμόρφωσης της επί τόπου θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος με κάποια τεχνική προδιαγραφή του έργου.''''' 12 / 36 4.ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΛΗΨΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΑΝΤΟΧΗΣ ΠΥΡΗΝΩΝ:4.1 Η κατασκευή χωρίζεται σε τμήματα (περιοχές ελέγχου1). Κάθε τμήμα περιλαμβάνει διάφορες θέσεις, οι οποίες επιλέγονται τυχαία2, καλύπτοντας την περιοχή ενδιαφέροντος. Από κάθε θέση λαμβάνεται ένας πυρήνας. 1Μια περιοχή ελέγχου μπορεί να περιλαμβάνει στοιχεία που κατασκευάστηκαν από διάφορα αναμίγματα σκυροδέματος, τα οποία όμως θεωρείται ότι ανήκουν στον ίδιο πληθυσμό.2Στην περίπτωση που πρόκειται να εκτιμηθεί το είδος και η έκταση κάποιας βλάβης, θα πρέπει να επιλέγονται περιοχές ελέγχου στις οποίες εμφανίζονται ή εκτιμάται ότι υπάρχουν βλάβες. Χρήσιμο θα είναι να γίνουν στη συνέχεια συγκρίσεις με αποτελέσματα θραύσεως πυρήνων που έχουν ληφθεί από «υγιείς» περιοχές.''''' 6.ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΑΝΤΟΧΗ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ (fck.is.) ΜΙΑΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (in situ-επί τόπου): Η εκτιμώμενη χαρακτηριστική αντοχή του σκυροδέματος μιας περιοχής ελέγχου δίνεται από την παρακάτω σχέση:όπου: fck.isη εκτιμώμενη (επί τόπου) χαρακτηριστική αντοχή του σκυροδέματος της περιοχής ελέγχουfm(n).isο μέσος όρος των τιμών θραύσης των πυρήνωνk2λαμβάνει την τιμή 1,48sτυπική απόκλιση των τιμών θραύσης των πυρήνων (όχι όμως μικρότερη από 2,0 N/mm2)fis,lowestη μικρότερη τιμή θραύσης πυρήναnπλήθος πυρήνων--------------------------Μπορούν να χρησιμοποιηθούν και πυρήνες με διαμέτρους από 50 mm έως 150 mm και λόγο Η/D διάφορο του 2, με την προϋπόθεση ότι θα χρησιμοποιηθούν κατάλληλοι συντελεστές αναγωγής, εφόσον αυτοί δίνονται από υπάρχουσες εθνικές ή τοπικές προβλέψεις. Η μέθοδος δεν εφαρμόζεται σε πυρήνες με διάμετρο μικρότερη από 50 mm (EN 13791: § 7.1).Εάν η διασπορά της αντοχής πυρήνα εμφανίζεται να προέρχεται από δύο πληθυσμούς, η περιοχή πρέπει να χωριστεί σε δύο επιμέρους περιοχές (EN 13791: §7.3.2, Note 2).Η τιμή του k2 δίνεται σε προβλέψεις εθνικού επιπέδου ή, εάν δεν δίνεται, λαμβάνει την τιμή 1,48 (EN 13791: §7.3.2).Όταν για να εκτιμηθεί η χαρακτηριστική αντοχή χρησιμοποιείται η μικρότερη τιμή θραύσης πυρήνα (fis.lowest), τότε το αποτέλεσμα αυτό αντιπροσωπεύει τη χαμηλότερη αντοχή της υπό εξέταση κατασκευής (prEN 13791:§7.3.2, Note 1).13 / 36 Από τα αποτελέσματα της θραύσης των δοκιμίων προκύπτει, μέση τιμή = 20,86 MPa και τυπική απόκλιση s = 2,92 MPa. Με βάση τα προαναφερθέντα και τα αποτελέσματα θραύσης των δοκιμίων έχουμε: s= 2,92 MPak2= 1.48fm(n).is= 20,86 MPafis,lowest= η μικρότερη τιμή θραύσης πυρήνα = 16 MPa fck.is. = minfm(n).is. - k2·s =20,86 - 1,48 x 2,92 =16,53 MPafis.lowest + 4 =16,00 + 4,00 =20,00 MPaΜε βάση τον Πίνακα 2, η αντοχή των 16,53 MPa αντιστοιχεί σε κατηγορία σκυροδέματος C12/15. Για την περαιτέρω ανάλυση τα αποτυπώνουμε τα αποτελέσματα σε κανονική κατανομή, με παράμετρο z = k2 = -1,48, στην οποία αντιστοιχεί αθροιστική πιθανότητα 0,0694, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα >93% να εμφανίσουν οι πυρήνες αντοχή > 16.53 MPa. Στο διπλανό γράφημα, το οποίο βασίζεται στην fm(n).is. - k2·s = 16,63 MPa, η κόκκινη περιοχή ορίζει την πιθανότητα οι πυρήνες να εμφανίσουν τιμή < 16.53 MPa και η μωβ περιοχή την πιθανότητα οι πυρήνες να εμφανίσουν τιμή >16.53 MPa.Στο διπλανό γράφημα, το οποίο βασίζεται στην ελάχιστη τιμή δείγματος +4 = 20 MPa, η κόκκινη περιοχή ορίζει την πιθανότητα πιθανότητα (38,4%) οι πυρήνες να εμφανίσουν τιμή < 20 MPa και η μωβ περιοχή την πιθανότητα (61.6%) οι πυρήνες να εμφανίσουν τιμή >20 MPa. Το ενδεχόμενο να είναι fck.is. = fis.lowest + 4 προϋποθέτει ότι κάποια από τις τιμές του δείγματος διαφέρει από την μέση τιμή πάνω από 3σ.14 / 36 Ερώτηση 7Οι τιμές θραύσης 15 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος ακμής 150 mm, είναι 12, 22, 18, 16, 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22, 21, 20 και 23 MPa. Να ελεγχθεί το δείγμα βάσει του κριτηρίου Piece για αποκλεισμό τιμών, και να υπολογισθεί στην συνέχεια κατά ΕΝ 13791 η κατηγορία του σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου.ΑπάντησηΛύσηΔυστυχώς έχει παρατηρηθεί σε πολλές περιπτώσεις ότι η δειγματοληψία πυρήνων δεν είναι αποτέλεσμα τυχαίας επιλογής, όπως προβλέπεται στο ΕΝ 13791 και τον Ευρωκώδικα 0 (ΕΝ 1990), και αποφεύγονται περιοχές που εμφανίζουν κατασκευαστικές αστοχίες και ατέλειες. Με τον τρόπο αυτό δεν εξασφαλίζεται η αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος και παρακάμπτονται οι βασικές αρχές επί των οποίων βασίζεται το Πρότυπο ΕΛΟΤ ΕΝ 13791. Για παράδειγμα, στην περίπτωση μη αντπροσωπευτικού δείγματος, η τιμή k2 = 1.48 για Ν ≥ 15 θα πρέπει να αντικατασταθεί με k2 ≥ 1,74. Μια από τις πιο διαδεδομένες μεθόδους "φιλτραρίσματος" των στοιχείων ώστε να αποκτήσουν αντιπροσωπευτικότητα είναι η εφαρμογή του κριτηρίου Pierce, το οποίο ενδείκνυται για τις περιπτώσεις δειγμάτων με πληθυσμό Ν < 60. Οταν ο πληθυσμός του δείγματος είναι Ν > 60, η επίδραση των ακροτάτων (μη κανονικών) τιμών μειώνεται αισθητά. Στην συνέχεια παρουσιάζεται η μεθοδολογία αυτή σε διακριτά στάδια. Στάδιο 1Υπολογισμός του μέγιστου επιτρεπόμενου εύρους τιμών του δείγματος (10) όπου R είναι η παράμετρος Pierce που δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα (ο πλήρης πίνακας παραμέτρων R παρατίθεται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β) Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 931.19641.3831.07851.5091 20061.6101.2991.09971.6931.3821.1871 02281.7631 4531.2611.10991.8241 5151 3241 1781.045101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009132.0071.7041.5161 3791.2661.1671.070142.0431.7411.5541.4171.3071.2101.1201.026152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.07815 / 36 Εάνη τιμή αποκλείεται από το δείγμαΕάνη τιμή δεν αποκλείεται από το δείγμαΑπό τα αποτελέσματα προκύπτει, μέση τιμή s = 3,72 MPa.= 20,33 MPa και τυπική απόκλισηΣτην προκειμένη περίπτωση, θεωρώντας ότι μόνη η τιμή 12 MPa είναι "ύποπτη" (Number of doubtful observations = 1 και δείγμα Ν =15) έχουμε R = 2,076, οπότε:Στάδιο 2Ελεγχος αποκλεισμού της "ύποπτης τιμής" Έλεγχος τιμής 12 MPa Επειδή 8,33 > 7,72 MPa, η τιμή 12 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Αν η τιμή του δοκιμίου ήταν 13 MPa δεν θα υπήρχε λόγος αποκλεισμού της.Στάδιο 3Συνέχιση των υπολογισμών μετά τον αποκλεισμό δοκιμίου Ως αποτέλεσμα του αποκλεισμού του δοκιμίου με τιμή 12 MPa, ο πληθυσμός του δείγματος Ν μειώνεται σε 14, η μέση τιμή γίνεται μ = 20,92 MPa. η τυπική απόκλιση σ = 3,02 MPa και ο συντελεστής k του προτύπου ΕΝ 13791 (k = k2·s) παίρνει την τιμή k = 5.fck.is. = minfm(n).is. - k2·s =20,92 - 5,00 =15,92 MPafis.lowest + 4 =16,00 + 4,00 =20,00 MPaΜε βάση τον Πίνακα 2, η αντοχή των 15,92 MPa αντιστοιχεί σε κατηγορία σκυροδέματος C12/15.16 / 36 Ερώτηση 8Οι τιμές θραύσης 17 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος ακμής 150mm, είναι 11, 12, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22, 21, 20 και 23 MPa. Να ελεγχθεί το δείγμα για το ενδεχόμενο να προέρχεται από 2 παρτίδες και να υπολογισθεί στην συνέχεια κατά ΕΝ 13791 η κατηγορία του σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου.ΑπάντησηΛύσηΚατ' αρχήν πρέπει να ξεκαθαριστεί τι σημαίνει διαφορετική παρτίδα και πως αυτό αποτυπώνεται στα αποτελέσματα. Αν για παράδειγμα οι 6 πυρήνες με τιμές 11, 12, 12, 13, 14 και 16 προέρχονται από την θεμελίωση και έχουν αυξημένη υγρασία έναντι των υπολοίπων 11, τότε δεν έχουμε απαραίτητα διαφορετική παρτίδα αλλά ενδεχομένως υποβάθμιση της αντοχής λόγω παραμένουσας υγρασίας. Το αυτό ισχύει και στην περίπτωση που αυτοί οι 6 πυρήνες φέρουν εμφανή στοιχεία κακής ποιότητας σκυροδέτησης, σε αντίθεση με τους υπόλοιπους 11. Ας υποθέσουμε όμως ότι οι 6 πυρήνες με τιμές 11, 12, 12, 13, 14, 16 δεν παρουσιάζουν ούτε αυξημένη υγρασία, ούτε εμφανίζουν στοιχεία κακής ποιότητας σκυροδέτησης. Από τα αποτελέσματα της θραύσεως των 17 δοκιμίων προκύπτει μέση τιμή μ = 18.53 MPa και τυπική απόκλιση σ = 4.87 MPa. Ας εφαρμόσουμε όπως και πριν το κριτήριο αποκλεισμού Pierce. Στάδιο 1Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος για μια "ύποπτη" τιμήΗ παράμετρος R κατά Pierce και δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα για έναν "ύποπτο" πυρήνα σε σύνολο 17. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 9152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084182.1611.8641.6801 5461.4381.3481.2681 1951.123192.1851.8901.7071.5731.4661.3771.2981.2261.158202.2091.9141 7321.5991.4921.4041.3261.2551.190 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών17 / 36 Στάδιο 2Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 11 MPa Επειδή 7,53 < 10,39 MPa, η τιμή 11 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμών 12 MPa Επειδή 6,53 < 10,39 MPa, η τιμή 12 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 5,53 < 10,39 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμέςΣτάδιο 3Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος για δυο "ύποπτες" τιμέςΗ παράμετρος R κατά Pierce και δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα για δυο "ύποπτους" πυρήνες σε σύνολο 17. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 9101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009132.0071.7041.5161 3791.2661.1671.070142.0431.7411.5541.4171.3071.2101.1201.026152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084182.1611.8641.6801 5461.4381.3481.2681 1951.123192.1851.8901.7071.5731.4661.3771.2981.2261.158202.2091.9141 7321.5991.4921.4041.3261.2551.190 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών Στάδιο 4Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 11 MPa Επειδή 7,53 < 8,94 MPa, η τιμή 11 MPa διατηρείται18 / 36 Έλεγχος τιμών 12 MPa Επειδή 6,53 < 8,94 MPa, η τιμή 12 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 5,53 < 8,94 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμές Στάδιο 5 Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος για τρεις "ύποπτες" τιμές Η παράμετρος R κατά Pierce και δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα για τρείς "ύποπτους" πυρήνες σε σύνολο 17. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 9101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009132.0071.7041.5161 3791.2661.1671.070142.0431.7411.5541.4171.3071.2101.1201.026152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084182.1611.8641.6801 5461.4381.3481.2681 1951.123192.1851.8901.7071.5731.4661.3771.2981.2261.158202.2091.9141 7321.5991.4921.4041.3261.2551.190 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών Στάδιο 6Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 11 MPa Επειδή 7,53 < 8,04 MPa, η τιμή 11 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμών 12 MPa Επειδή 6,53 < 8,04 MPa, η τιμή 12 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 5,53 < 8,04 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμές 19 / 36 Στάδιο 7Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος για 4 "ύποπτες" τιμές Η παράμετρος R κατά Pierce και δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα για 4 "ύποπτους" πυρήνες σε σύνολο 17. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 9101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009132.0071.7041.5161 3791.2661.1671.070142.0431.7411.5541.4171.3071.2101.1201.026152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084182.1611.8641.6801 5461.4381.3481.2681 1951.123192.1851.8901.7071.5731.4661.3771.2981.2261.158202.2091.9141 7321.5991.4921.4041.3261.2551.190 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών Στάδιο 8Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 11 MPa Επειδή 7,53 > 7,38 MPa, η τιμή 11 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Έλεγχος τιμών 12 MPa Επειδή 6,53 < 7,38 MPa, η τιμή 12 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 5,53 < 7,38 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμέςΣτάδιο 9Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος για 5 "ύποπτες" τιμές Η παράμετρος R κατά Pierce και δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα για 5 "ύποπτους" πυρήνες σε σύνολο 17.20 / 36 PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 9152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084182.1611.8641.6801 5461.4381.3481.2681 1951.123192.1851.8901.7071.5731.4661.3771.2981.2261.158202.2091.9141 7321.5991.4921.4041.3261.2551.190 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών Στάδιο 10Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 11 MPa Επειδή 7,53 > 6,86 MPa, η τιμή 11 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Έλεγχος τιμών 12 MPa Επειδή 6,53 < 6,86 MPa, η τιμή 12 MPa διατηρείται Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 5,53 < 6,86 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμέςΣτάδιο 11Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος για 6 "ύποπτες" τιμές Η παράμετρος R κατά Pierce και δίνεται από τον παρακάτω Πίνακα για 6 "ύποπτους" πυρήνες σε σύνολο 17. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 3 4 5 6 7 8 9 1 2152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084182.1611.8641.6801 5461.4381.3481.2681 1951.123 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών21 / 36 Στάδιο 12Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 11 MPa Επειδή 7,53 > 6,41 MPa, η τιμή 11 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Έλεγχος τιμών 12 MPa Επειδή 6,53 > 6,41 MPa, οι δύο τιμές 12 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 5,53 < 6,41 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμέςΣτάδιο 13Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος μετά τον αποκλεισμό 3 "υπόπτων" τιμών. Μετά τον αποκλεισμό έχουμε μέση τιμή μ = 20 MPa, τυπική απόκλιση σ = 4,0 MPa και Ν = 14. Πηγαίνουμε κατ΄ ευθείαν στον έλεγχο των τριών υπολειπομένων "υπόπτων" τιμών. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 9101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009132.0071.7041.5161 3791.2661.1671.070142.0431.7411.5541.4171.3071.2101.1201.026152.0761 7751.5891 4531.3441.2491.1641.078162.1061.8071.6221.4861.3781.2851.2021.1221.039172.1341 8361.6521 5171.4091.3181 2371.1611.084 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών Στάδιο 14Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 13 MPa Επειδή 7,00 > 6,21 MPa, η τιμή 13 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Έλεγχος τιμής 14 MPa Επειδή 6,00 < 6,21 MPa, η τιμή 13 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμές22 / 36 Στάδιο 15Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος μετά τον αποκλεισμό 4 "υπόπτων" τιμών. Μετά τον αποκλεισμό έχουμε μέση τιμή μ = 20.53 MPa, τυπική απόκλιση σ = 3,59 MPa και Ν = 13. Πηγαίνουμε κατ΄ ευθείαν στον έλεγχο των δυο υπολειπομένων "υπόπτων" τιμών. PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 931.19641.3831.07851.5091 20061.6101.2991.09971.6931.3821.1871 02281.7631 4531.2611.10991.8241 5151 3241 1781.045101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009132.0071.7041.5161 3791.2661.1671.070142.0431.7411.5541.4171.3071.2101.1201.026 max επιτρεπόμενο εύρος τιμών Στάδιο 16Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 14 MPa Επειδή 6,53 > 6,11 MPa, η τιμή 14 MPa εξαιρείται (αποκλείεται) Έλεγχος τιμής 16 MPa Επειδή 4,53 < 6,11 MPa, η τιμή 16 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμέςΣτάδιο 17 Υπολογισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης απόκλισης τιμών του δείγματος μετά τον αποκλεισμό 5 "υπόπτων" τιμών. Μετά τον αποκλεισμό έχουμε μέση τιμή μ = 21.08 MPa, τυπική απόκλιση σ = 3,14 MPa και Ν = 12. Πηγαίνουμε κατ΄ ευθείαν στον έλεγχο της μιας υπολειπόμενης "ύποπτης" τιμής.23 / 36 PIERCE'S CRITERION TABLE -- ONE MEASURED QUANTITY -- VALUES OF R Total observationsNumber of doubtful observations (αριθμός αμφιβόλων αποτελεσμάτων) 1 2 3 4 5 6 7 8 931.19641.3831.07851.5091 20061.6101.2991.09971.6931.3821.1871 02281.7631 4531.2611.10991.8241 5151 3241 1781.045101.8781 5701.3801 2371.114111.9251.6191.4301 2891.1721.059121.9691 6631.4751 3361.2211.1181.009 max επιτρεπόμενο εύρος τιμώνΣτάδιο 18Ελεγχος για τον αποκλεισμό "υπόπτων τιμών" Έλεγχος τιμής 16 MPa Επειδή 5,08 < 6,18 MPa, η τιμή 16 MPa διατηρείται. Προφανώς το αυτό ισχύει και για τις μεγαλύτερες τιμέςΜε βάση τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τα ληφθέντα δοκίμια προέρχονται από δυο παρτίδες σκυροδέματος και κατανέμονται ως εξής: Παρτίδα Α: 11, 12, 12, 13 και 14 MPa Παρτίδα Β: 16, 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22, 21, 20 και 23 MPa Κατά συνέπεια η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων θραύσεως πρέπει να γίνει ιδιαιτέρως ανά παρτίδα, σύμφωνα με Περίπτωση Β του προτύπου ΕΛΟΤ ΕΝ 13791 (Ν<15).24 / 36 Ερώτηση 9Τα αποτελέσματα θραύσης 11 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου είναι: 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22, 21, 20 και 23 MPa. Να σχεδιαστεί το γράφημα της κατανομής των αποτελεσμάτων, να υπολογισθεί η τιμή fck,is σύμφωνα με το ΕΛΟΤ ΕΝ 13791, καθώς και η πιθανότητα να βρεθεί τιμή μεγαλύτερη από fck,is στο δείγμα.ΑπάντησηΛΥΣΗΗ μέση τιμή του δείγματος είναι μ = fm(n).is = 22,00 MPa και η τυπική απόκλιση σ = 2,84 MPa και η ελάχιστη τιμή fis,lowest = 17 MPa. Η κατασκευή του γραφήματος μπορεί να γίνει εύκολα με εφαρμογή σε περιβάλλον Excell (Normal_Distribution.xls) που έχει δημιουργηθεί επί τούτοις, την οποία μπορείτε να κατεβάσετε πατώντας εδώ (ctrl+click). Εισάγετε τις παραπάνω τιμές στα κελιά D5 και D6 (όπως στην διπλανή εικόνα) και επιλέξτε ευρέα όρια Ζ από -3 έως 3 (κελιά C9, C10) και να το γράφημα: 25 / 36 Η μέση τιμή του δείγματος είναι μ = fm(n).is = 22,00 MPa, η τυπική απόκλιση σ = 2,84 MPa και η ελάχιστη τιμή fis,lowest = 17 MPa. Επειδή ο πληθυσμός των δοκιμίων του δείγματος είναι Ν = 11 εφαρμόζεται η περίπτωση Β του προτύπου ΕΝ 13791 με συντελεστή k = k2·s = 5.fck.is. = minfm(n).is. - k2·s =22,00 - 5,00 =17,00 MPafis.lowest + 4 =17,00 + 4,00 =21,00 MPaΜε βάση τον Πίνακα 2, η αντοχή των 15,64 MPa αντιστοιχεί σκυρόδεμα C16/20. Την τιμή fck,is = 17 MPa την εισάγετε στα κελιά Η10 και Η11 ...... και ιδού οι απαντήσεις: (Η13) : η πιθανότητα να βρεθεί τιμή μικρότερη από 17 MPa (3,92%)(Η14) : η πιθανότητα να βρεθεί τιμή μεγαλύτερη από 17 MPa (96.08%) [η απάντηση στο τεθέν ερώτημα](Η15) : η πιθανότητα να βρεθεί τιμή εντός του διαστήματος (0,00 %) [προφανές, αφού έχει δοθεί Xmin - Xmax = 17 MPa]26 / 36 Ερώτηση 10Τα αποτελέσματα θραύσης 11 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου είναι: 17, 18, 25, 25, 25, 19, 22, 22, 21, 20 και 23 MPa. Να προσδιοριστεί η αναλογούσα κατηγορία σκυροδέματος κατά ΕΝ 13791, καθώς και η πιθανότητα εύρεσης των τιμών αυτών εντός των ορίων που προσδιορίζουν την κατηγορία αυτή.ΑπάντησηΛΥΣΗΤα αποτελέσματα θραύσης είναι όπως και στην προηγούμενη ερώτηση 10 (μέση τιμή δείγματος μ = 22,00 MPa και η τυπική απόκλιση σ = 2,84 MPa) και έχει ήδη ευρεθεί, ότι σύμφωνα με τα οριζόμενα στο πρότυπο ΕΛΟΤ ΕΝ 13791, το σκυρόδεμα κατατάσσεται στην κατηγορία C16/20 Σύμφωνα με τον Πίνακα 2 (σελ. 3) το σκυρόδεμα κατηγορίας C16/20 χαρακτηρίζεται από αντοχές κύβου Xmin = 17 MPa και Xmax = 21 MPa. Η εύρεση των ζητουμένων πιθανοτήτων μπορεί να γίνει εύκολα με την εφαρμογή σε περιβάλλον Excell (Normal_Distribution.xls) που έχει δημιουργηθεί επί τούτοις, την οποία μπορείτε να κατεβάσετε πατώντας εδώ (ctrl+click). Εισάγετε τις τιμές μ και σ στα κελιά D5 και D6 (όπως στην διπλανή εικόνα) και επιλέξτε ευρέα όρια Ζ από -3 έως 3 (κελιά C9, C10) Εισάγετε τις τιμές Xmin = 17 MPa και Xmax = 21 MPa στα κελιά Η10 και Η11, αντίστοιχα και να το αποτέλεσμα  Η πιθανότητα κατηγορίας C16/20 εντός του δείγματος είναι 32.32% (μέτρια) (κελί Η15). 27 / 36 Για το σκυρόδεμα κατηγορίας C12/15 το πρότυπο ΕΝ 13791 προβλέπει Xmin = 13 MPa και Xmax = 27 MPa.Ας δούμε τις αντίστοιχες πιθανότητες Η πιθανότητα κατηγορίας C12/15 εντός του δείγματος είναι 3,84% (πολύ μικρή) (κελί Η15).Ερώτηση 10Τα αποτελέσματα θραύσης 11 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος είναι: 16, 16, 18, 25, 21, 22, 18, 20, 20, 22 και 18 MPa. Να υπολογισθεί, σύμφωνα με το ΕΝ 13791, η τιμή fck,is και να προσδιοριστεί το εκατοστημόριο (percentile) της τιμής fck,is στην περιοχή ελέγχου.ΑπάντησηΛΥΣΗΗ μέση τιμή του δείγματος είναι μ = fm(n).is = 19,64 MPa και η ελάχιστη τιμή fis,lowest = 16 MPa. Επειδή ο πληθυσμός των δοκιμίων του δείγματος είναι Ν = 11 εφαρμόζεται η περίπτωση Β του προτύπου ΕΝ 13791 με συντελεστή k = k2·s = 5.fck.is. = minfm(n).is. - k2·s =19,64 - 5,00 =14,64 MPafis.lowest + 4 =16,00 + 4,00 =20,00 MPaΜε βάση τον Πίνακα 2, η αντοχή των 15,64 MPa αντιστοιχεί σε σκυρόδεμα C12/15. Το ποσοστημόριο p (εκατοστημόριο, percentile) μιας σειράς αριθμών είναι η τιμή εκείνη, η οποία, όταν οι τιμές διαταχθούν σε αύξουσα σειρά, έχει στα αριστερά της το p% των δεδομένων και από δεξιά της το υπόλοιπο (100-p)%. Η κατανομή των ποσοστημορίων μιας σειράς αριθμών Ν παρίσταται με διάγραμμα της ακόλουθης μορφής: 28 / 36 1o εκατοστημόριο99ο εκατοστημόριο Σε ένα τέτοιο διάγραμμα το εκάστοτε ποσοστημόριο p ισούται με το εμβαδόν υπό την καμπύλη, αριστερά της θέσης του p στον άξονα x-x (υπό γραμμική κλίμακα) Για την εύρεση των ποσοστημορίων τα αποτελέσματα (αριθμοί) κατατάσσονται (σορτάρονται) κατ' αύξουσα τάξη: 16, 16, 18, 18, 18, 20, 20, 21, 22, 22 και 25 MPa. Η θέση του εκατοστημόριου p (p-οστού) ενός συνόλου Ν αριθμών, δίνεται από την σχέση: (11) Το p-οστό εκατοστημόριο είναι η τιμή στη θέση Lp. Αν το Lp δεν είναι ακέραιος, στρογγυλοποιείται προς τα πάνω. Όταν δύο διαδοχικά ποσοστημόρια έχουν, μετά την στρογγύλευση, το ίδιο Lp, λαμβάνεται ο μέσος όρος του προηγούμενου και επόμενου ποσοστημορίου αυτών. Παραδείγματα: το 25ο εκατοστημόριο 11 αριθμών βρίσκεται στην θέση: και Δηλαδή το 75% των αποτελεσμάτων θα έχουν τιμή μεγαλύτερη από 18 MPa.το 5ο εκατοστημόριο βρίσκεται στην θέση: και Δηλαδή το 95% των αποτελεσμάτων θα έχουν τιμή μεγαλύτερη ή ίση των 16 MPa.Ο υπολογισμός των εκατοστημορίων μιας σειράς αριθμών μπορεί να γίνει εύκολα με εφαρμογή σε περιβάλλον Excell (Percentile-EN13791.xls) που έχει δημιουργηθεί επί τούτοις, την οποία μπορείτε να κατεβάσετε πατώντας εδώ (ctrl+click). Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι η καταχώρηση των αποτελεσμάτων θραύσης των δοκιμίων στην στήλη Β (το ένα κάτω από το άλλο, με την σειρά που τα έχετε, χωρίς σορτάρισμα). Οι υπολογισμοί των εκατοστημορίων γίνονται αυτόματα!29 / 36 Στην στήλη D εμφανίζονται τα πλήρη στατιστικά στοιχεία του δείγματος και στην στήλη F οι τιμές του δείγματος που αντιστοιχούν σε κάθε ποσοστημόριο. Παρατηρούμε ότι η τιμή fck,is = 14,64 MPa είναι μικρότερη από την τιμή του 1ου εκατοστημορίου (η τιμή 14.64 MPa δεν ανήκει στο δείγμα αφού η τιμή 16 MPa ορίζει ότι το 99% του δείγματος είναι μεγαλύτερο).Ερώτηση 12Τα αποτελέσματα θραύσης 8 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου είναι: 16, 24, 30, 25, 21, 22, 25 και 20 MPa. Να υπολογισθεί, σύμφωνα με το ΕΝ 13791, η τιμή fck,is και να προσδιοριστεί το εκατοστημόριο (percentile) της τιμής fck,is στην περιοχή ελέγχου.ΑπάντησηΛΥΣΗΗ μέση τιμή του δείγματος είναι μ = fm(n).is = 22,88 MPa και η ελάχιστη τιμή fis,lowest = 16 MPa. Επειδή ο πληθυσμός των δοκιμίων του δείγματος είναι Ν = 8 εφαρμόζεται η περίπτωση Β του προτύπου ΕΝ 13791 με συντελεστή k = k2·s = 6.30 / 36 fck.is. = minfm(n).is. - k2·s =22,88 - 6,00 =16,83 MPafis.lowest + 4 =16,00 + 4,00 =20,00 MPaΜε βάση τον Πίνακα 2, η αντοχή των 16,83 MPa αντιστοιχεί σε σκυρόδεμα C12/15. Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή Percentile-EN13791.xls έχουμε:Παρατηρούμε ότι η τιμή 16,88 MPa είναι πολύ κοντά στο 3ο εκατοστημόριο. Η τιμή Ζ υπολογίζεται σύμφωνα με την εξίσωση (2) στην σελ. 4.Ερώτηση 13Τα αποτελέσματα θραύσης 6 κυβικών δοκιμίων σκυροδέματος στην περιοχή ελέγχου είναι: 24, 28, 25, 21, 22, 20 MPa. Να υπολογιστεί η τιμή fck,is σύμφωνα με το ΕΝ 13791 και την Εγκύκλιο 7 και να προσδιοριστεί το εκατοστημόριο (percentile) της τιμής fck,is στην περιοχή ελέγχου.ΑπάντησηΛΥΣΗΗ μέση τιμή του δείγματος είναι μ = fm(n).is = 23,33 MPa και η ελάχιστη τιμή fis,lowest = 20 MPa. Επειδή ο πληθυσμός των δοκιμίων του δείγματος είναι Ν = 6 εφαρμόζεται η περίπτωση Β του προτύπου ΕΝ 13791 με συντελεστή k = k2·s = 7. 31 / 36 fck.is. = minfm(n).is. - k2·s =23,33 - 7,00 =16,33 MPafis.lowest + 4 =20,00 + 4,00 =24,00 MPaΜε βάση τον Πίνακα 2, η αντοχή των 16,33 MPa αντιστοιχεί σε σκυρόδεμα C12/15.Σύμφωνα με την Εγκύκλιο Ε-7: όπουείναι η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση του δ
Έχουν δημοσιευτεί 3 σχόλιαΜετάβαση στην αρχή του άρθρου
03 Ιανουαρίου 2017

Το άρθρο βασίζεται σε βασικές γνώσεις στατιστικής επιπέδου 1ου έτους. Σίγουρα δεν είναι αποτέλεσμα ταλέντου του συγγραφέα. Γίνεται μία ολοκληρωμένη προσπάθεια στο e-archimedes να παρέχουμε στο μέτρο του εφικτου βασικές επαγγελματικές γνώσεις για τους αναγνώστες (ή να τις επαναφέρουμε στην μνήμη τους). 

Χ. Ροδόπουλος

------------------------------

31 Δεκεμβρίου 2016

Για Παναγιώτη Αναγμωστόπουλο:
Ελπίζω να φάνηκε απο το άρθρο αυτό, η χρησιμότης των προδιαγραφών του ACI, όπως το ACI-214, και οτι η προσήλωση μόνοβ στα ΕΝ δεν βοηθάει την υπόθεση της ποιότητος στο σκυρόδεμα.

Ν.Μαρσέλλος, ΠΜ

----------------------------------

31 Δεκεμβρίου 2016

Το πιο επαγγελματικά χρήσιμο άρθρο του Χρήστου Ροδόπουλου. Ας ασχολειται με αυτά που έχει ταλέντο και ας αφήσει τις γνωματεύσεις περι του ποιός ειναι τι και ποιός πρέπει να κάνει τι για άλλους. ΔΕΝ τόχει ...
 
Ν.Μαρσέλλος, ΠΜ
-------------------------------

Εισάγετε το όνομά σας. *
Εισάγετε το e-mail σας. *
Μήνυμα
Κάντε ένα σχόλιο για το άρθρο. Το μήνυμα σχολίου σας θα δημοσιοποιηθεί μετά από έγκριση από την αρμόδια Επιτροπή.
*

Σφάλμα

Εισάγετε το όνομά σας.

Σφάλμα

Εισάγετε το e-mail σας.

Σφάλμα

Εισάγετε μήνυμα σχολίου.

Σφάλμα

Προέκυψε ένα λάθος κατά την αποστολή του σχολίου σας, παρακαλώ δοκιμάστε ξανά αργότερα.

Μήνυμα

Το μήνυμα σχολίου απεστάλη επιτυχώς. Θα δημοσιευτεί το συντομότερο δυνατό μετά την έγκριση του από την αρμόδια Επιτροπή.